一、引言

说起变分法,就不得不提到最速降线问题,这个问题最早是伽利略提出来的,假如现在有两个点,A和B,在只考虑重力的情况下,什么路径能够让一个质点从A到B的时间最短呢?伽利略认为是圆弧,但是是错误的,那答案究竟是什么呢?

没错,就是摆线,或者说旋轮线,因为它和这个问题的密切关系,我们也叫它最速降线

旋轮线顾名思义,就是旋转的轮子上的固定一点在“空中”划过的一条线

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摆线的参数方程就是 \begin{cases} x=a(t-\sin t)\\[2ex] y=a(1-\cos t)\\[2ex] \end{cases} ,就不展开说了。

可能大家听说过约翰·伯努利用费马原理把小球类比成光的证明方法,但是并不是人人都能发现这两者的联系的,而且实际上这种方法不算严谨,所以我们要怎么求呢?

就需要用到变分法

二、最速降线与变分法

先说一说变分法的基本思想,还是回到最速降线的问题。

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(设OA的坐标各为 (x_1,y_1)(x_2,y_2) )

我们可以看到,从A到B实际上可以有无数条路径,但是我们要找到的是让质点运动时间最短的那一条,怎么办呢?

先算算试试!

因为机械能守恒,所以

mgy=\frac12mv^2\Rightarrow v=\sqrt{2gy}\\

因为

v=\frac{ds}{dt}\Rightarrow dt=\frac{ds}{v}\\

和弧长公式

ds=\sqrt{1+y’^2}dx\\

所以积分得到总时间

t=\int_{x_1}^{x_2}\frac{ds}{v}=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{\frac{1+y’^2}{2gy}}dx\\

这时候,我们发现积分内居然是 y和y’ ,这实际上就是泛函的概念。

泛函是什么?就是函数的函数

泛函就是定义域是一个函数集,而值域是实数集或者实数集的一个子集,推广开来, 泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。也就是说,它是从函数空间到数域的映射。

(摘自搜狗百科)

或者比较通俗地说,是函数到常数的映射——输入一个函数,输出一个常数 F:y(x)\rightarrow {\rm {constant}}

原本我们研究的函数的定义域都是自变量,现在我们研究的函数的定义域变成了函数,而且我们现在想要找到这个泛函的极值。

听不懂?没关系,我第一次听也是挺懵的。

我们设一个我们想要得到的最佳解泛函是 F(x,y,y’) ,简写为 F(x) ,我们给它人为地加上一个扰动函数 G(x) ——就相当于在做实验的时候调整实验的各种条件。

所以我们有

\bar{F}(x)=F(x)+G(x)\\

注意到 G(x) 实际上是任意的函数,此时 \bar{F}(x) 应该是一个集合,里面的元素是所有从A到B的可能路径。

这时候就像我们在做实验一样,我们通过变换G(x)来调整实验的各种条件,从而寻找我们想要的最优解 F(x)

但是我们对单个的 G(x) 实际上是束手无策的,这时候就体现出各位数学先哲们的优秀之处了,他们这么做了——

G(x)=\epsilon\frac{G(x)}{\epsilon}=\epsilon\eta(x)\\

此时 \eta(x) 就是一个新的扰动函数, \epsilon 则是叫做扰动因子

我们得到

{\bar{F}}(x,y+\epsilon \eta(x),y’+\epsilon \eta'(x))=F(x,y,y’)+\epsilon\eta(x)\\

直观上来讲, \epsilon 就是用来控制 \bar{F}(x) 与 F(x) 的偏离程度的,而且\epsilon\rightarrow0的时候 \bar{F}(x)=F(x) ,翻译成数学语言就是:

\lim_{\epsilon \rightarrow 0}{\bar{F}}(x,y+\epsilon \eta(x),y’+\epsilon \eta'(x))=F(x,y,y’)\\

注意到 \eta(x) 有几点性质:

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第三点的原因就是起止点是不变的,即 \bar{F}(x_1)=F(x_1)=y_1 和 \bar{F}(x_2)=F(x_2)=y_2

这时候我们设

I(\epsilon)=\int_{x_1}^{x_2}F(x,y+\epsilon \eta(x),y’+\epsilon \eta'(x))dx\\

(把 \bar{F} 改成 F(x) ,好看一些)

因为而且\epsilon\rightarrow0的时候 \bar{F}(x)=F(x),且有极值(我们研究的就是这个),意味着该函数的导数为0,所以我们得到

\frac{dI}{d\epsilon}│_{\epsilon=0}=0\\

有了这个,我们就可以着手{\rm {Euler-Lagrange}}方程的推导了

三、{\rm {Euler-Lagrange}}方程

为了方便,我们设 u=y+\epsilon \eta(x)和v=y’+\epsilon \eta'(x)

所以

I(\epsilon)=\int_{x_1}^{x_2}F(x,u,v)dx\\

紧接着因为 \frac{dI}{d\epsilon}│_{\epsilon=0}=0 我们得到

\frac{d}{d\epsilon}│_{\epsilon=0}\int_{x_1}^{x_2}F(x,u,v)dx=0\\

因为微分符号和积分的上下限无关,微分符号会直接穿过积分符号变成偏微分

\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial \epsilon}dx=0\\

注意到两个式子

\lim_{\epsilon \rightarrow 0}{u}=y\\

\lim_{\epsilon \rightarrow 0}{v}=y’\\

现在开始计算泛函 F 关于 \epsilon 的偏微分

\begin{align} \frac{\partial F}{\partial \epsilon}&=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \epsilon} +\frac{\partial F}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial \epsilon}+\frac{\partial F}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial \epsilon}\\&=0+\frac{\partial F}{\partial u}\eta+\frac{\partial F}{\partial v}\eta’\\&=\frac{\partial F}{\partial u}\eta+\frac{\partial F}{\partial v}\eta’\\&=\frac{\partial F}{\partial y}\eta+\frac{\partial F}{\partial y’}\frac{d\eta}{dx}\end{align}\\

原来的积分就变成了

\int_{x_1}^{x_2}(\frac{\partial F}{\partial y}\eta+\frac{\partial F}{\partial y’}\frac{d\eta}{dx})dx=0\\

计算第二项要用到分部积分法,即 \int udv=uv-\int vdu\\

所以

\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y’}\frac{d\eta}{dx}dx=\frac{\partial F}{\partial y’}\eta│_{x_1}^{x_1}-\int_{x_1}^{x_2}\eta \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y’})\\

因为

\eta│_{x_1}^{x_1}=\eta(x_1)-\eta(x_2)=0-0=0\\

所以

\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y’}\frac{d\eta}{dx}dx=-\int_{x_1}^{x_2}\eta \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y’})\\

代入到原来的积分得到

\int_{x_1}^{x_2}(\eta\frac{\partial F}{\partial y}-\eta \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y’}))dx=0\\

提取公因式

\int_{x_1}^{x_2}\eta(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y’}))dx=0\\

因为 \eta(x) 是任意的扰动函数,所以括号里面的只能是0

于是我们得到了{\rm {Euler-Lagrange}}方程的第一种形式

\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y’})=0\\

但是只有这一个还是不够的,我们还需要第二种形式

考虑泛函 F(x,u,v) 的全微分

\begin{align}\frac{d}{dx}F(x,u,v)&=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y’}\frac{dy’}{dx}\\&=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y’+\frac{\partial F}{\partial y’}y”\end{align}\\

看到 y” 莫名有些火大啊,所以我们还是消掉它吧(实际上就是因为二阶导太不好算了我们把它变得简单一点)

考虑这个微分

\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y’}y’)=\frac{\partial F}{\partial y’}y”+y’\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y’})\\

所以天时地利人和,直接代入得到一个方程(看不懂的自己代代吧,这么多实在太麻烦了)

\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y’}y’)=\frac{dF}{dx}-\frac{\partial F}{\partial x}-y'(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y’}))\\

最后一项括号里面的是不是很眼熟?就是{\rm {Euler-Lagrange}}方程的第一种形式嘛

所以得到

\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y’}y’)=\frac{dF}{dx}-\frac{\partial F}{\partial x}\\

然后移项再合并微分算子,得到

\frac{\partial F}{\partial x}-\frac{d}{dx}(F-\frac{\partial F}{\partial y’}y’)=0\\

这就是{\rm {Euler-Lagrange}}方程的第二种形式,启示我们当 F 中不显含 x 的时候就可以用这个方程来求解,这时候 F-\frac{\partial F}{\partial y’}y’=C

好了,历尽千辛万苦我们终于可以求解最速降线了!可以先自己推导一下

回到原来的方程

\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{\frac{1+y’^2}{2gy}}dx\\

我们可以看到式子中不显含x,所以我们用{\rm {Euler-Lagrange}}方程的第二种形式

泛函F的方程是

F(x,y,y’)=\sqrt{\frac{1+y’^2}{2gy}}\\

代入

F-\frac{\partial F}{\partial y’}y’=C\\

得到

\frac{\sqrt{1+y’^2}}{\sqrt{2gy}}-\frac{y’^2}{\sqrt{2gy}·\sqrt{1+y’^2}}=C\\

通分化简得到

y(1+y’^2)=\frac{1}{2gC^2}=k\\

再次各种计算分离变量得到

dx=\sqrt{\frac{y}{k-y}}dy\\

然后积分得

x=\int \sqrt{\frac{y}{k-y}}dy\\

这个地方设y等于什么都可以,得出来的是参数方程,我设的是 y=k\sin^2(u) ,首先就可以写出y的参数方程为 y=\frac12k(1-\cos(2u)) ,这时候设 a=\frac12k,t=2u ,然后再计算换元以后x的积分,如果没算错,就可以得到最速降线的参数方程

\begin{cases} x=a(t-\sin t)\\[2ex] y=a(1-\cos t)\\[2ex] \end{cases}\\

所以摆线就是最速降线

纪念二位的贡献

本文原本是在学习分析力学之前独立学习变分法写的一篇文章,因为最近在学习分析力学,所以把这个放进了分析力学里面.

本文转自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/123319444,如有侵权,请联系删除。

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